向量空间

向量空间构成了机器学习的数学舞台。本文涵盖向量加法、标量乘法、封闭性公理、子空间，以及为什么AI中几乎所有东西都表示为向量。

• 将向量空间想象成一种特定类型的舞台，数学对象生活在其中，每个对象被称为一个向量。

• 为了机器学习（ML）中的几何直觉，我们始终将向量视为欧几里得空间中的一个点，由其坐标表示。

• 向量 \(\mathbf{a}\)（数学上用粗体小写字母表示）有 \(n\) 个坐标，每个坐标代表沿一个轴的位置。

\[\mathbf{a} = [a_1, a_2, a_3]\]

• 向量空间中的向量遵循一套非常具体、不可打破的规则：

  • 向量加法（组合）： 你可以取任意两个向量并将它们组合起来创建新向量。 把向量想象成移动的指令。 如果向量 A 表示"向前走 3 步"，向量 B 表示"向右走 2 步"， 将它们相加（A + B）就创建了一条新的单一指令："向前走 3 步并向右走 2 步。"

  • 标量乘法（缩放）： 你可以使用一个普通数字（"标量"）来缩放任意向量。 你可以拉伸它、缩小它或反转它。 如果向量 A 是"向前走 3 步"，将其乘以 2 就变成"向前走 6 步。" 将其乘以 -1 则完全翻转成"向后走 3 步。"

• 向量空间的维度是其包含的独立方向的数量。\(\mathbb{R}^2\) 是二维的（需要 2 个坐标），而上面的 \(\mathbf{a}\) 存在于 \(\mathbb{R}^3\) 中。

• 例如，我们可以将任何对象（比如一个人）表示为一个向量，其中 \(h_1\) = 身高（厘米），\(h_2\) = 体重（公斤），\(h_3\) = 年龄。

\[\mathbf{h} = [185, 75, 30]\]

• 我们现在已经创建了一个包含表示人的向量的向量空间。

• 我们可以表示多个人，并观察他们之间的远近！

• 我们可以添加更多特征，创建丰富的人体表示，在 ML 中通常称为特征向量。

• 你拥有的独特且有意义的特征越多，特征向量的描述性就越强，这是需要记住的一个重要因素。

• 超过 3 维后，向量变得非常难以直观检查，这催生了一个名为线性代数的数学领域。

• 现在，线性代数是研究向量、向量空间以及向量之间映射关系的学科。

• 我们在 AI/ML 中将几乎所有东西都表示为向量，这使得线性代数成为该领域的基石。

• 向量加法可以通过将一个向量放在另一个向量的尾部，然后从原点画到终点的可视化方式执行。

• 对于两个向量 \(\mathbf{a} = (a_1, a_2)\) 和 \(\mathbf{b} = (b_1, b_2)\)：\(\mathbf{a} + \mathbf{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)\)

• 向量也可以相减，所有加法规则同样适用。

• 将向量乘以标量会在相同方向上按该因子缩放向量。

• 对于标量 \(c\) 和向量 \(\mathbf{v} = (v_1, v_2)\)：\(c\mathbf{v} = (cv_1, cv_2)\)

• 加法封闭性：如果将向量空间中的任意两个向量相加，结果也属于同一空间：如果 \(\mathbf{u} \in V\) 且 \(\mathbf{v} \in V\)，则 \(\mathbf{u} + \mathbf{v} \in V\)

• 标量乘法封闭性：如果将向量空间中的任意向量乘以标量，结果也属于同一空间：如果 \(\mathbf{v} \in V\) 且 \(c \in F\)，则 \(c\mathbf{v} \in V\)

• 加法结合律：对于任意三个向量 \(\mathbf{u}\)、\(\mathbf{v}\) 和 \(\mathbf{w}\)：\((\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})\)

• 加法交换律：对于任意两个向量 \(\mathbf{u}\) 和 \(\mathbf{v}\)：\(\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}\)

• 通过平行四边形的两条路径都到达同一点。

• （零向量）：存在一个向量 \(\mathbf{0}\)，使得对于任何向量 \(\mathbf{v}\)：\(\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}\)

• 加法逆元：对于每个向量 \(\mathbf{v}\)，存在一个向量 \(-\mathbf{v}\)，使得：\(\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}\)

• 分配律 1：对于任意标量 \(c\) 和向量 \(\mathbf{u}\)、\(\mathbf{v}\)：\(c(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = c\mathbf{u} + c\mathbf{v}\)

• 缩放和（金色）与分别缩放向量再求和的结果相同。

• 分配律 2：对于任意标量 \(c\)、\(d\) 和向量 \(\mathbf{v}\)：\((c + d)\mathbf{v} = c\mathbf{v} + d\mathbf{v}\)

• 结合律：对于任意标量 \(c\)、\(d\) 和向量 \(\mathbf{v}\)：\((cd)\mathbf{v} = c(d\mathbf{v})\)

• 单位元：对于任何向量 \(\mathbf{v}\)：\(1\mathbf{v} = \mathbf{v}\)，其中 \(1\) 是标量域中的乘法单位元。

• 子空间就是大空间内部的一个较小舞台。把三维空间想象成一个房间。一张穿过房间中心的平坦纸片就是一个子空间，穿过中心的一根直导线也是子空间。

• 关键要求是子空间必须经过原点。如果你把那片纸移开中心，它就不再是子空间了，因为零向量不再位于其上。

• 向量空间的所有规则（加法、缩放、封闭性）在子空间内部仍然有效。你可以在子空间内添加或缩放向量，永远不会"掉出"到更大的空间。

• 经过原点的直线是一维子空间，经过原点的平面是二维子空间，而整个空间是自身的子空间。

• 在 ML 中，子空间自然出现。高维数据通常具有存在于低维子空间上的结构。PCA 等技术找到那个子空间，这样我们可以更高效地处理数据。

编程练习（使用 CoLab 或 notebook）

1. 运行代码验证分配律性质，然后修改并尝试测试其他规则！

   import jax.numpy as jnp
   
   u = jnp.array([1, 2])
   v = jnp.array([3, 0])
   c = 2
   
   lhs = c * (u + v)
   rhs = c*u + c*v
   
   print(f"LHS: {lhs}")
   print(f"RHS: {rhs}")
   

2. 运行代码可视化不同的向量，然后修改不同坐标的值以理解每个轴如何影响位置。

   import jax.numpy as jnp
   import matplotlib.pyplot as plt
   
   # 尝试修改这些向量！
   a = jnp.array([3, 2, 4])
   b = jnp.array([1, 4, 2])
   c = jnp.array([4, 1, 3])
   
   fig = plt.figure()
   ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")
   
   for vec, name, color in [(a, "a", "red"), (b, "b", "blue"), (c, "c", "green")]:
       ax.quiver(0, 0, 0, *vec, color=color, arrow_length_ratio=0.1, linewidth=2, label=name)
   
   lim = int(jnp.abs(jnp.stack([a, b, c])).max()) + 1
   ax.set_xlim([0, lim]); ax.set_ylim([0, lim]); ax.set_zlim([0, lim])
   ax.set_xlabel("X"); ax.set_ylabel("Y"); ax.set_zlabel("Z")
   ax.legend()
   plt.show()