概率分布

概率分布描述了随机结果如何在可能取值上分布。本文档整理了关键的离散和连续分布：伯努利分布、二项分布、泊松分布、高斯分布、指数分布、贝塔分布等，给出了各自的公式、直观理解及其在机器学习中的应用（损失函数、先验、噪声模型）。

• 在第4章中，我们介绍了随机变量、PMF、PDF和CDF。本章列出你在机器学习和统计学中最常遇到的重要概率分布，给出每个分布的直观理解、公式、均值和方差。

• 三种核心函数的快速回顾（完整定义见第4章）：

  • PMF \(P(X = x)\)：给出每个离散结果的概率。即条形图中每个条形的高度。
  • PDF \(f(x)\)：给出连续变量在每个点上的密度。两点之间曲线下的面积即为概率。
  • CDF \(F(x) = P(X \le x)\)：累积到 \(x\) 为止的概率。取值范围始终从0到1且单调不减。

• 分布的支撑集是指PMF或PDF取正值的集合。对掷骰子而言，支撑集为 \(\{1,2,3,4,5,6\}\)。对正态分布而言，支撑集为全体实数 \((-\infty, \infty)\)。

• 分布清晰地分为两个家族：离散分布（结果可数，使用PMF）和连续分布（结果不可数，使用PDF）。

• 伯努利分布：最简单的分布。单次试验有两种结果：成功（1）的概率为 \(p\)，失败（0）的概率为 \(1-p\)。

\[P(X = x) = p^x (1 - p)^{1-x}, \quad x \in \{0, 1\}\]

• 均值：\(E[X] = p\)。方差：\(\text{Var}(X) = p(1-p)\)。

• 每一次抛硬币、每一个是/否分类、每一个二元结果都是伯努利试验。在机器学习中，sigmoid函数的输出正是伯努利分布的参数 \(p\)。

• 二项分布：计算 \(n\) 次独立伯努利试验中成功的次数，每次试验的成功概率 \(p\) 相同。

\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n\]

• 二项式系数 \(\binom{n}{k}\)（见文件01）计算了 \(k\) 次成功在 \(n\) 次试验中的排列方式数量。

• 均值：\(E[X] = np\)。方差：\(\text{Var}(X) = np(1-p)\)。

• 示例：抛一枚有偏硬币（\(p = 0.7\)）八次。恰好得到6次正面的概率为 \(\binom{8}{6}(0.7)^6(0.3)^2 = 28 \times 0.1176 \times 0.09 \approx 0.296\)。

• 泊松分布：在固定的时间或空间区间内，以已知的平均速率 \(\lambda\) 计算事件发生的次数。适用于事件稀少且相互独立的情形。

\[P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots\]

• 均值：\(E[X] = \lambda\)。方差：\(\text{Var}(X) = \lambda\)。均值等于方差是其标志性特征。

• 示例：每小时收到的邮件数（\(\lambda = 5\)）、每页的错别字数、每秒的服务器请求数。在机器学习中，泊松回归用于建模计数数据，而线性模型可能会预测出负的计数值。

• 当 \(n \to \infty\) 且 \(p \to 0\)，且 \(np = \lambda\) 保持不变时，二项分布 Binomial\((n,p)\) 收敛于泊松分布 Poisson\((\lambda)\)。这就是泊松分布适用于大总体中稀有事件的原因。

• 几何分布：计算直到首次成功所需的试验次数。"我要抛多少次硬币才能第一次得到正面？"

\[P(X = k) = (1-p)^{k-1} p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots\]

• 均值：\(E[X] = 1/p\)。方差：\(\text{Var}(X) = (1-p)/p^2\)。

• 几何分布具有无记忆性：再等待 \(k\) 次试验才成功的概率与你已经等待了多少次试验无关。这使得它在离散分布中非常特殊。

• 负二项分布：推广了几何分布，计算直到第 \(r\) 次成功所需的试验次数（几何分布是 \(r=1\) 的特殊情形）。

\[P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}, \quad k = r, r+1, r+2, \ldots\]

• 均值：\(E[X] = r/p\)。方差：\(\text{Var}(X) = r(1-p)/p^2\)。

• 负二项分布在实践中也用于建模过度离散的计数数据（方差超过均值的情形），这是泊松分布无法处理的。

• 接下来我们进入连续分布。

• 均匀分布：区间 \([a, b]\) 内的所有值等可能。其PDF是一个平坦的矩形。

\[f(x) = \frac{1}{b - a}, \quad a \le x \le b\]

• 均值：\(E[X] = \frac{a+b}{2}\)。方差：\(\text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\)。

• 随机数生成器以生成均匀分布 Uniform(0,1) 样本为起点。其他分布通过对这些均匀样本进行变换得到。

• 正态（高斯）分布：统计学中最重要的分布。它由中心极限定理（见第4章）自然导出：大量独立随机变量的平均值趋于正态分布，无论原始分布是什么。

\[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)\]

• 均值：\(E[X] = \mu\)。方差：\(\text{Var}(X) = \sigma^2\)。

• 标准正态分布的 \(\mu = 0\) 且 \(\sigma = 1\)。任意正态变量 \(X\) 可通过 \(Z = (X - \mu)/\sigma\) 标准化为标准正态变量 \(Z\)。

• 经验法则（68-95-99.7法则）指出：

  • 约68%的数据落在均值 \(\pm 1\sigma\) 范围内
  • 约95%的数据落在 \(\pm 2\sigma\) 范围内
  • 约99.7%的数据落在 \(\pm 3\sigma\) 范围内

• 在机器学习中，正态分布无处不在：权重初始化、数据增强中的噪声、MSE损失背后的假设（其隐含假设高斯误差）、以及变分自编码器中的重参数化技巧。

• 指数分布：模拟泊松过程中事件之间的时间间隔。如果事件以速率 \(\lambda\) 到达，则它们之间的等待时间服从指数分布 Exponential\((\lambda)\)。

\[f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \ge 0\]

• 均值：\(E[X] = 1/\lambda\)。方差：\(\text{Var}(X) = 1/\lambda^2\)。

• 与离散变量中的几何分布类似，指数分布也具有无记忆性：\(P(X > s + t | X > s) = P(X > t)\)。再等待 \(t\) 个时间单位的概率与你已经等待了多长时间无关。

• 伽马分布：推广了指数分布。它模拟泊松过程中第 \(\alpha\) 个事件发生的时间（指数分布是 \(\alpha = 1\) 的特殊情形）。

\[f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\beta x}, \quad x > 0\]

• 这里 \(\alpha\)（形状参数）控制形状，\(\beta\)（速率参数）控制尺度。\(\Gamma(\alpha)\) 是伽马函数，它将阶乘推广到实数：对正整数 \(n\) 有 \(\Gamma(n) = (n-1)!\)。

• 均值：\(E[X] = \alpha/\beta\)。方差：\(\text{Var}(X) = \alpha/\beta^2\)。

• 贝塔分布：定义在区间 \([0, 1]\) 上，非常适合对概率、比例和比率进行建模。

\[f(x) = \frac{x^{\alpha - 1}(1 - x)^{\beta - 1}}{B(\alpha, \beta)}, \quad 0 \le x \le 1\]

• 分母 \(B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)}\) 是贝塔函数，起到归一化常数的作用。

• 均值：\(E[X] = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}\)。方差：\(\text{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\)。

• 贝塔分布是伯努利和二项似然函数的共轭先验。这意味着如果先验是贝塔分布且数据服从伯努利分布，则后验也是贝塔分布，这使得贝叶斯更新在解析上易于处理。我们将在文件04中使用这一性质。

• 卡方分布（\(\chi^2\)）：如果你取 \(k\) 个独立的标准正态随机变量并求其平方和，结果服从自由度为 \(k\) 的 \(\chi^2\) 分布。

\[f(x) = \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}, \quad x > 0\]

• 均值：\(E[X] = k\)。方差：\(\text{Var}(X) = 2k\)。

• \(\chi^2\) 分布实际上是伽马分布的特殊情形，其中 \(\alpha = k/2\) 且 \(\beta = 1/2\)。它出现在假设检验（第4章中的卡方检验）、拟合优度检验以及方差置信区间的计算中。

• 学生t分布：形状类似于正态分布但尾部更重。当你使用小样本且总体方差未知时，对正态分布总体的均值进行估计时就会出现t分布。

\[f(x) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)} \left(1 + \frac{x^2}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2}\]

• 参数 \(\nu\)（自由度）。当 \(\nu \to \infty\) 时，t分布收敛于标准正态分布。当 \(\nu\) 较小时，更重的尾部赋予极端值更高的概率，反映了小样本带来的额外不确定性。

• 均值：\(E[X] = 0\)（当 \(\nu > 1\) 时）。方差：\(\text{Var}(X) = \frac{\nu}{\nu - 2}\)（当 \(\nu > 2\) 时）。

• t分布用于t检验（第4章），并出现在贝叶斯推断中，作为在积分消去未知方差时的边缘分布。

• 关键分布总结：

分布	类型	支撑集	均值	方差
Bernoulli\((p)\)	离散	\(\{0,1\}\)	\(p\)	\(p(1-p)\)
Binomial\((n,p)\)	离散	\(\{0,\ldots,n\}\)	\(np\)	\(np(1-p)\)
Poisson\((\lambda)\)	离散	\(\{0,1,2,\ldots\}\)	\(\lambda\)	\(\lambda\)
Geometric\((p)\)	离散	\(\{1,2,3,\ldots\}\)	\(1/p\)	\((1-p)/p^2\)
Uniform\((a,b)\)	连续	\([a,b]\)	\((a+b)/2\)	\((b-a)^2/12\)
Normal\((\mu,\sigma^2)\)	连续	\((-\infty,\infty)\)	\(\mu\)	\(\sigma^2\)
Exponential\((\lambda)\)	连续	\([0,\infty)\)	\(1/\lambda\)	\(1/\lambda^2\)
Gamma\((\alpha,\beta)\)	连续	\((0,\infty)\)	\(\alpha/\beta\)	\(\alpha/\beta^2\)
Beta\((\alpha,\beta)\)	连续	\([0,1]\)	\(\alpha/(\alpha+\beta)\)	见上文
\(\chi^2(k)\)	连续	\((0,\infty)\)	\(k\)	\(2k\)
Student's \(t(\nu)\)	连续	\((-\infty,\infty)\)	\(0\)	\(\nu/(\nu-2)\)

编程练习（使用CoLab或笔记本）

1. 绘制 \(n=20\) 时二项分布PMF在不同 \(p\) 取值下的图像。观察形状如何从左偏变为对称再变为右偏。

   import jax.numpy as jnp
   import matplotlib.pyplot as plt
   from math import comb
   
   n = 20
   ks = jnp.arange(0, n + 1)
   
   fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(12, 4), sharey=True)
   for ax, p, color in zip(axes, [0.2, 0.5, 0.8], ["#e74c3c", "#3498db", "#27ae60"]):
       pmf = jnp.array([comb(n, int(k)) * p**k * (1-p)**(n-k) for k in ks])
       ax.bar(ks, pmf, color=color, alpha=0.7)
       ax.set_title(f"Binomial(n={n}, p={p})")
       ax.set_xlabel("k")
   axes[0].set_ylabel("P(X = k)")
   plt.tight_layout()
   plt.show()
   

2. 验证泊松分布对二项分布的近似。设 \(n = 1000\)，\(p = 0.003\)，比较二项分布 Binomial\((n, p)\) 和泊松分布 Poisson\((\lambda = np)\)。

   import jax.numpy as jnp
   import matplotlib.pyplot as plt
   from math import comb, factorial, exp
   
   n, p = 1000, 0.003
   lam = n * p
   ks = jnp.arange(0, 15)
   
   binom_pmf = jnp.array([comb(n, int(k)) * p**k * (1-p)**(n-k) for k in ks])
   poisson_pmf = jnp.array([lam**k * exp(-lam) / factorial(int(k)) for k in ks])
   
   plt.figure(figsize=(8, 4))
   plt.bar(ks - 0.15, binom_pmf, width=0.3, color="#3498db", alpha=0.7, label=f"Binomial({n},{p})")
   plt.bar(ks + 0.15, poisson_pmf, width=0.3, color="#e74c3c", alpha=0.7, label=f"Poisson({lam})")
   plt.xlabel("k")
   plt.ylabel("P(X = k)")
   plt.title("泊松分布对二项分布的近似")
   plt.legend()
   plt.show()
   

3. 从正态分布中采样并验证经验法则。计算落在1、2和3个标准差内的样本比例。

   import jax
   import jax.numpy as jnp
   
   key = jax.random.PRNGKey(42)
   mu, sigma = 5.0, 2.0
   samples = mu + sigma * jax.random.normal(key, shape=(100_000,))
   
   for k in [1, 2, 3]:
       within = jnp.abs(samples - mu) <= k * sigma
       print(f"Within {k}σ: {within.mean():.4f} (expected: {[0.6827, 0.9545, 0.9973][k-1]:.4f})")
   

4. 通过改变 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 探索贝塔分布。绘制几种形状，观察分布如何从均匀变为偏斜再变为集中。

   import jax
   import jax.numpy as jnp
   import matplotlib.pyplot as plt
   
   x = jnp.linspace(0.01, 0.99, 200)
   
   def beta_pdf(x, a, b):
       # 未归一化，用于形状比较
       return x**(a-1) * (1-x)**(b-1)
   
   plt.figure(figsize=(10, 5))
   params = [(1,1,"均匀"), (2,5,"左偏"), (5,2,"右偏"),
             (5,5,"对称"), (0.5,0.5,"U形")]
   colors = ["#999", "#e74c3c", "#3498db", "#27ae60", "#9b59b6"]
   
   for (a, b, label), color in zip(params, colors):
       y = beta_pdf(x, a, b)
       y = y / jnp.trapezoid(y, x)  # 归一化
       plt.plot(x, y, label=f"α={a}, β={b} ({label})", color=color, linewidth=2)
   
   plt.xlabel("x")
   plt.ylabel("密度")
   plt.title("贝塔分布形状")
   plt.legend()
   plt.grid(alpha=0.3)
   plt.show()