积分学

积分学在区间上累积量，将局部变化率还原为总量。本文涵盖定积分与不定积分、微积分基本定理、积分技巧，以及在机器学习中与概率密度和期望值的应用。

• 微分告诉我们单个点的变化率。积分则相反：它将许多微小片段累积起来，计算出一个总量。

• 如果导数回答的是"多快？"，那么积分回答的是"多少？"

• 理解积分最简单的方式是将其视为曲线下的面积。如果绘制出函数 \(f(x)\) 的图像，并将从 \(x = a\) 到 \(x = b\) 之间曲线与 x 轴之间的区域涂上阴影，积分给出的就是该区域的有符号面积。

• 为什么是"有符号"的？在 x 轴上方的区域贡献正面积，在下方的区域贡献负面积。这在物理上是有意义的：如果 \(f(x)\) 代表速度，积分给出的是净位移（正向减去反向），而不是总路程。

• 为了计算这个面积，想象将区域切成 \(n\) 个细长的竖直矩形，每个矩形的宽度为 \(\Delta x\)。每个矩形的高度是该切片内某一点的函数值。将它们求和：

\[\text{面积} \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i^\ast) \, \Delta x\]

• 当我们让矩形越来越薄时（\(n \to \infty\)，\(\Delta x \to 0\)），这个和就变得精确。这个极限过程定义了定积分：

\[\int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^\ast) \, \Delta x\]

• \(\int\) 符号是拉长的"S"，代表"求和"（Sum）。\(dx\) 提醒我们，我们是在沿 x 轴方向对无穷薄的切片求和。

• 不定积分（或原函数）是一个函数 \(F(x)\)，其导数为 \(f(x)\)。我们写作：

\[\int f(x)\, dx = F(x) + C\]

• \(+ C\) 是积分常数。因为任何常数的导数都是零，所以存在无穷多个仅相差一个常数的原函数。例如，\(\int 2x\, dx = x^2 + C\)，因为 \(x^2 + 7\) 或 \(x^2 - 3\) 的导数仍然是 \(2x\)。

• 微积分基本定理是连接微分与积分的桥梁。它包含两部分：

• 第一部分：如果 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数，那么定积分等于 \(F\) 在端点处的值之差：

\[\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)\]

• 这非常实用。我们不再需要计算一个和的极限（这很困难），而是找到一个原函数并在两点处求值（这通常很简单）。

• 第二部分：如果我们定义 \(F(x) = \int_a^x f(t)\, dt\)，那么 \(F'(x) = f(x)\)。微分与积分是互逆运算，它们相互抵消。

• 例如，计算 \(\int_1^3 x^2\, dx\)：\(x^2\) 的原函数是 \(\frac{x^3}{3}\)。所以 \(\int_1^3 x^2\, dx = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} \approx 8.67\)。

• 正如微分有运算法则一样，积分也有相应的逆向运算法则：

函数	积分	条件
\(x^n\)	\(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)	\(n \neq -1\)
\(\frac{1}{x}\)	\(\ln\|x\| + C\)
\(e^x\)	\(e^x + C\)
\(a^x\)	\(\frac{a^x}{\ln a} + C\)
\(\sin x\)	\(-\cos x + C\)
\(\cos x\)	\(\sin x + C\)
\(k\)（常数）	\(kx + C\)

• 和/差法则同样适用：\(\int [f(x) \pm g(x)]\, dx = \int f(x)\, dx \pm \int g(x)\, dx\)。常数可以提出来：\(\int k\, f(x)\, dx = k \int f(x)\, dx\)。

• 当一个函数太复杂而无法直接积分时，我们有简化它的技巧。

• 换元积分法（u 代换）是链式法则的逆过程。如果发现一个复合函数 \(f(g(x))\) 乘以 \(g'(x)\)，则令 \(u = g(x)\)，于是 \(du = g'(x)\, dx\)，积分得以简化。

• 例如：\(\int 2x \cos(x^2)\, dx\)。令 \(u = x^2\)，则 \(du = 2x\, dx\)。积分变为 \(\int \cos(u)\, du = \sin(u) + C = \sin(x^2) + C\)。

• 分部积分法是乘积法则的逆过程。如果被积函数是两个函数的乘积：

\[\int u\, dv = uv - \int v\, du\]

• 策略性地选择 \(u\) 和 \(dv\)，使得剩下的积分 \(\int v\, du\) 比原来的更简单。选择 \(u\) 的常用助记法是 LIATE：对数函数（Logarithmic）、反三角函数（Inverse trig）、代数函数（Algebraic）、三角函数（Trigonometric）、指数函数（Exponential）（优先从靠前的类别中选择 \(u\)）。

• 例如：\(\int x\, e^x\, dx\)。令 \(u = x\)（代数函数）和 \(dv = e^x\, dx\)。则 \(du = dx\)，\(v = e^x\)。因此：\(\int x\, e^x\, dx = x\, e^x - \int e^x\, dx = x\, e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C\)。

• 在机器学习中，积分出现在概率论中（通过对密度函数积分来计算概率）、期望值中（连续分布上的加权平均），以及计算 ROC 曲线下的面积。虽然在实际中我们很少手动积分，但理解积分的含义有助于解释这些量。

编程练习（使用 CoLab 或 notebook）

1. 使用黎曼和，用不断增加数量的矩形来数值逼近 \(\int_0^1 x^2\, dx\)。与精确答案 \(\frac{1}{3}\) 进行比较。

   import jax.numpy as jnp
   
   for n in [10, 100, 1000, 10000]:
       x = jnp.linspace(0, 1, n, endpoint=False)
       dx = 1.0 / n
       area = jnp.sum(x**2 * dx)
       print(f"n={n:5d}  approx: {area:.6f}  exact: {1/3:.6f}")
   

2. 数值验证微积分基本定理。定义 \(F(x) = \int_0^x t^2\, dt = \frac{x^3}{3}\)，并验证其导数（通过 jax.grad 计算）等于 \(x^2\)。

   import jax
   import jax.numpy as jnp
   
   F = lambda x: x**3 / 3
   dF = jax.grad(F)
   
   for x in [0.5, 1.0, 2.0, 3.0]:
       print(f"x={x:.1f}  F'(x)={dF(x):.4f}  x^2={x**2:.4f}")
   

3. 可视化 \(f(x) = \sin(x)\) 从 \(0\) 到 \(\pi\) 的曲线下面积。使用 plt.fill_between 填充该区域，并用黎曼和数值计算面积。

   import jax.numpy as jnp
   import matplotlib.pyplot as plt
   
   x = jnp.linspace(0, jnp.pi, 500)
   y = jnp.sin(x)
   
   plt.plot(x, y, color="purple", linewidth=2)
   plt.fill_between(x, y, alpha=0.2, color="purple")
   plt.title(f"Area = {jnp.sum(jnp.sin(x) * (jnp.pi / 500)):.4f}  (exact: 2.0)")
   plt.show()