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信息论

信息论量化了信息、惊奇度以及概率分布之间的差异。本文涵盖熵、交叉熵、KL散度、互信息和自信息——这些概念是机器学习中每一个分类损失函数、VAE目标和数据压缩方案背后的理论基础。

  • 信息论由克劳德·香农于1948年创立，为我们提供了量化信息的数学框架。它回答了诸如此类的问题：一个事件应当让你感到多惊讶？一条消息携带了多少信息？两个概率分布之间有多大的差异？

  • 这些问题看似抽象，但它们是机器学习损失函数、数据压缩和通信系统的基础。交叉熵损失——分类中最常见的损失函数——直接源于信息论。

  • 从最简单的问题开始：单个事件携带了多少信息？

  • 自信息（surprisal，也称 self-information）衡量一个事件的惊奇程度。如果某件极有可能发生的事情真的发生了，你几乎学不到任何新信息。如果某件罕见的事情发生了，你则会获得大量信息。

  • 如果你住在沙漠里，有人告诉你今天是大晴天，这并没有什么信息量。但如果他们告诉你正在下雪，那信息量就极其丰富。自信息将这种直觉形式化：

\[I(x) = \log_2 \frac{1}{p(x)} = -\log_2 p(x)\]

  • 使用 \(\log_2\) 时，单位是比特。一枚公平的硬币抛掷的自信息为 \(-\log_2(0.5) = 1\) 比特。一个概率为 \(1/8\) 的事件具有 $ \log_2(8) = 3$ 比特的自信息。

  • 为什么用对数而不是简单的 \(1/p\)？三个原因：

    • 必然事件（\(p = 1\)）应给出零信息：\(\log(1) = 0\) 但 \(1/1 = 1\)。
    • 独立事件的信息应该是可加的：\(\log(1/p_1 p_2) = \log(1/p_1) + \log(1/p_2)\)。
    • 我们需要一个平滑、性质良好的函数。\(1/p\) 会爆炸；\(\log(1/p)\) 则平缓增长。

  • 熵是自信息的期望值，即从一个分布中每次采样获得的平均信息量。它衡量该分布的不确定性或"不可预测性"：

\[H(X) = E[I(X)] = -\sum_{x} p(x) \log_2 p(x)\]

柱状图展示高概率事件具有低自信息，反之亦然；熵是加权平均值

  • 一枚公平硬币的熵为 \(H = -0.5\log_2(0.5) - 0.5\log_2(0.5) = 1\) 比特。不确定性最大。

  • 一枚偏倚硬币，\(p = 0.9\)，其熵为 \(H = -0.9\log_2(0.9) - 0.1\log_2(0.1) \approx 0.469\) 比特。不太确定，因此熵更小。

  • 一个确定性事件（\(p = 1\)）的熵为 \(H = 0\)。完全没有不确定性。

  • 当所有结果等可能时，熵达到最大。对于 \(n\) 个等可能结果，\(H = \log_2 n\)。一颗公平骰子的熵为 \(\log_2 6 \approx 2.585\) 比特。

  • 熵的实际意义在于压缩。香农的源编码定理指出，如果不丢失信息，你无法将数据压缩到低于其熵率。一幅每个像素都等可能的图像（最大熵）无法压缩。一幅几乎全是白色的图像（低熵）则可以很好地压缩。

  • 快速感受一下数量级：一个灰度像素（256 个值）的最大熵为 8 比特。一张 1080p 的灰度图像最多有 \(1920 \times 1080 \times 8 \approx 1660\) 万比特。真实图像的熵要低得多，因为相邻像素是相关的——这正是 JPEG 压缩能够工作的原因。

  • 对于连续随机变量，离散求和变为积分。微分熵定义为：

\[h(X) = -\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \log f(x)\, dx\]

  • 方差为 \(\sigma^2\) 的高斯分布的微分熵为 \(h = \frac{1}{2}\log_2(2\pi e \sigma^2)\)。在所有具有相同方差的分布中，高斯分布具有最大熵。这也是高斯分布在建模中如此常见的原因之一：它在指定均值和方差之外做出了最少的假设。

  • 互信息衡量知道一个变量能告诉你关于另一个变量的多少信息。它是观察到 \(Y\) 后 \(X\) 不确定性的减少量：

\[I(X; Y) = H(X) - H(X|Y) = H(Y) - H(Y|X)\]
  • 等价形式：
\[I(X; Y) = \sum_{x,y} p(x,y) \log_2 \frac{p(x,y)}{p(x) p(y)}\]

  • 如果 \(X\) 和 \(Y\) 独立，则 \(p(x,y) = p(x)p(y)\)，互信息为零。它们依赖程度越高，互信息就越大。

  • 在机器学习中，互信息用于特征选择（挑选与目标具有高 MI 的特征）、信息瓶颈方法以及聚类质量评估。

  • 交叉熵衡量使用针对分布 \(q\) 优化的编码方案来编码来自分布 \(p\) 的事件所需的平均比特数：

\[H(p, q) = -\sum_{x} p(x) \log_2 q(x)\]

  • 如果 \(q\) 与 \(p\) 完全匹配，则交叉熵等于熵：\(H(p, p) = H(p)\)。如果 \(q\) 是一个糟糕的近似，交叉熵就会更高。"额外"的比特来自这种不匹配。

  • 这正是交叉熵成为机器学习中分类标准损失函数的原因。真实标签定义了 \(p\)（一个 one-hot 分布），模型的预测概率定义了 \(q\)。最小化交叉熵推动 \(q\) 趋近于 \(p\)：

\[\mathcal{L} = -\sum_{c} y_c \log \hat{y}_c\]

  • 对于单个样本，若真实类别为 \(c\)，上式简化为 \(\mathcal{L} = -\log \hat{y}_c\)。该损失就是模型预测下真实类别的自信息。如果模型对正确类别赋予高概率，则损失较低。

  • KL 散度（Kullback-Leibler 散度，也称相对熵）衡量一个分布与另一个分布的差异程度：

\[D_{\text{KL}}(p \| q) = \sum_{x} p(x) \log \frac{p(x)}{q(x)} = H(p, q) - H(p)\]
  • KL 散度是"使用分布 \(q\) 而非真实分布 \(p\) 的额外代价"。它总是非负的（\(D_{\text{KL}} \ge 0\)），且仅在 \(p = q\) 时为零。

两个分布 p 和 q，它们之间的间隙表示 KL 散度

  • KL 散度不是对称的：\(D_{\text{KL}}(p \| q) \ne D_{\text{KL}}(q \| p)\)。这种不对称性很重要。\(D_{\text{KL}}(p \| q)\) 惩罚 \(q\) 在 \(p\) 具有高概率处放置低概率（因为 \(\log(p/q)\) 会趋于无穷大）。\(D_{\text{KL}}(q \| p)\) 则惩罚相反的情况。

  • 这种不对称性导致了两种近似风格：

    • 最小化 \(D_{\text{KL}}(p \| q)\) 产生矩匹配行为：\(q\) 覆盖 \(p\) 的所有模态，但可能过于分散。
    • 最小化 \(D_{\text{KL}}(q \| p)\) 产生模式寻找行为：\(q\) 集中于 \(p\) 的某一个模态，但可能错过其他模态。变分推断使用的正是这一种。

  • 由于 \(H(p)\) 相对于模型是常数，最小化交叉熵 \(H(p, q)\) 等价于最小化 \(D_{\text{KL}}(p \| q)\)。这就是为什么我们可以使用交叉熵损失，同时知道我们也在最小化真实分布与预测分布之间的 KL 散度。

  • KL 散度在贝叶斯更新中扮演着核心角色。后验 \(P(\theta | D)\) 是在 KL 散度意义上与先验 \(P(\theta)\) 最接近且与观测数据一致的分布。每一次新的观测都会更新后验，减少关于 \(\theta\) 的不确定性。

  • 在变分自编码器（VAE）中，损失函数包含两项：重构损失（交叉熵）和一个 KL 散度项，后者对潜在空间进行正则化，使其保持接近标准正态分布。

  • 将所有概念联系起来：熵告诉你一个分布内在的不确定性，交叉熵告诉你的模型对现实的近似程度，而 KL 散度则告诉你两者之间的差距。这三个量构成了现代机器学习优化的基石。

编程练习（使用 CoLab 或 notebook）

  1. 计算各种分布的熵，并验证在给定结果数量下，均匀分布的熵最大。 

    import jax.numpy as jnp

def entropy(p):
    """以比特为单位计算熵。过滤掉概率为零的事件。"""
    p = p[p > 0]
    return -jnp.sum(p * jnp.log2(p))

# 公平骰子
fair = jnp.ones(6) / 6
print(f"公平骰子熵:   {entropy(fair):.4f} 比特 (最大 = log2(6) = {jnp.log2(6.):.4f})")

# 灌铅骰子
loaded = jnp.array([0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.5])
print(f"灌铅骰子熵: {entropy(loaded):.4f} 比特")

# 确定性
det = jnp.array([0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0])
print(f"确定性:      {entropy(det):.4f} 比特")

# 公平硬币
coin = jnp.array([0.5, 0.5])
print(f"公平硬币熵:  {entropy(coin):.4f} 比特")

  2. 计算真实分布与多个近似分布之间的交叉熵和 KL 散度。验证 \(D_{\text{KL}}(p \| q) = H(p, q) - H(p)\)。 

    import jax.numpy as jnp

def cross_entropy(p, q):
    return -jnp.sum(p * jnp.log2(jnp.clip(q, 1e-10, 1.0)))

def kl_divergence(p, q):
    mask = p > 0
    return jnp.sum(jnp.where(mask, p * jnp.log2(p / jnp.clip(q, 1e-10, 1.0)), 0.0))

def entropy(p):
    p = p[p > 0]
    return -jnp.sum(p * jnp.log2(p))

p = jnp.array([0.4, 0.3, 0.2, 0.1])  # 真实分布

for name, q in [("完全匹配", p),
                ("轻微偏差", jnp.array([0.35, 0.30, 0.25, 0.10])),
                ("严重偏差", jnp.array([0.1, 0.1, 0.1, 0.7]))]:
    h_p = entropy(p)
    h_pq = cross_entropy(p, q)
    kl = kl_divergence(p, q)
    print(f"{name:20s}: H(p)={h_p:.4f}, H(p,q)={h_pq:.4f}, "
          f"KL={kl:.4f}, H(p,q)-H(p)={h_pq-h_p:.4f}")

  3. 通过计算两个不同分布之间的 \(D_{\text{KL}}(p \| q)\) 和 \(D_{\text{KL}}(q \| p)\)，证明 KL 散度不是对称的。 

    import jax.numpy as jnp

def kl_div(p, q):
    mask = p > 0
    return float(jnp.sum(jnp.where(mask, p * jnp.log2(p / jnp.clip(q, 1e-10, 1.0)), 0.0)))

p = jnp.array([0.9, 0.1])
q = jnp.array([0.5, 0.5])

print(f"D_KL(p || q) = {kl_div(p, q):.4f}")
print(f"D_KL(q || p) = {kl_div(q, p):.4f}")
print("不相同！KL 散度是不对称的。")

  4. 模拟训练过程中交叉熵损失的变化。创建一个"真实"的 one-hot 标签，展示随着模型预测概率的改善，损失如何下降。 

    import jax.numpy as jnp
import matplotlib.pyplot as plt

# 真实标签：4 个类别中的第 2 类
true_label = jnp.array([0, 0, 1, 0])

# 模拟预测逐步改善
steps = []
losses = []
for confidence in jnp.linspace(0.25, 0.99, 50):
    # 模型对类别 2 的置信度逐渐提高
    remaining = (1 - confidence) / 3
    pred = jnp.array([remaining, remaining, confidence, remaining])
    loss = -jnp.sum(true_label * jnp.log(jnp.clip(pred, 1e-10, 1.0)))
    steps.append(float(confidence))
    losses.append(float(loss))

plt.figure(figsize=(8, 4))
plt.plot(steps, losses, color="#e74c3c", linewidth=2)
plt.xlabel("模型对真实类别的置信度")
plt.ylabel("交叉熵损失")
plt.title("交叉熵损失随预测改善而下降")
plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()