优化¶
优化是模型训练的数学核心——寻找使损失函数最小的参数。本文涵盖驻点、凸性、梯度下降、牛顿法、带拉格朗日乘数的约束优化，以及驱动现代深度学习的主流优化器（SGD、Adam）。
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训练神经网络、拟合回归线、调优超参数：几乎所有机器学习算法的核心都是一个优化问题。
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我们有一个函数（损失函数、代价函数、目标函数），希望找到使其尽可能小（或大）的输入。
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在优化之前，我们需要理解函数的零点（或根）。\(f(x)\) 的零点是指满足 \(f(x) = 0\) 的 \(x\) 值。从图形上看，这些点就是与 x 轴的交点。
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例如，\(f(x) = x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)\) 的零点在 \(x = 1\) 和 \(x = 2\) 处。在两个零点之间，函数为负（\(f(1.5) = -0.25\)）；在零点之外，函数为正。零点将数轴分割成若干个区域，在每个区域中函数保持相同符号。
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零点的重数是指对应因式出现的次数。
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在单零点（重数为 1）处，图像穿过 x 轴。在二重零点（重数为 2）处，图像接触 x 轴但反弹回去而不穿过，在该点处看起来是"平坦"的。
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寻找零点之所以重要，是因为导数 \(f'(x)\) 的零点正是 \(f(x)\) 的驻点——即极大值或极小值的候选点。
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在极大值或极小值处，切线是水平的（斜率为 0），因此 \(f'(x) = 0\)。
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但并非每个驻点都是极大值或极小值。\(f'(x) = 0\) 的点也可能是拐点（如 \(f(x) = x^3\) 在 \(x = 0\) 处），函数在该点暂时变平但并未改变方向。
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二阶导数检验可以解决这个问题。在驻点 \(x = c\)（即 \(f'(c) = 0\)）处：
- 若 \(f''(c) > 0\)：曲线向下凸（碗状），因此 \(c\) 是局部极小值。
- 若 \(f''(c) < 0\)：曲线向上凸（山丘状），因此 \(c\) 是局部极大值。
- 若 \(f''(c) = 0\)：检验无效，需要使用更高阶导数或其他方法。
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例如，\(f(x) = x^3 - 3x\)。导数为 \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\)，因此驻点在 \(x = -1\) 和 \(x = 1\) 处。二阶导数为 \(f''(x) = 6x\)。在 \(x = -1\) 处：\(f''(-1) = -6 < 0\)（局部极大值）。在 \(x = 1\) 处：\(f''(1) = 6 > 0\)（局部极小值）。
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如果连接函数图像上任意两点的线段位于图像之上（或与之重合），则该函数是凸的。可以想象成一个碗形，处处向上弯曲。数学上，若对所有 \(x\) 有 \(f''(x) \geq 0\)，则 \(f\) 是凸函数。
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凸性的强大之处在于凸函数有一个卓越的性质：每个局部极小值同时也是全局最小值。不存在会让人陷入的欺骗性局部低谷。如果你把一个球滚入凸碗中，它总是会到达底部。
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若 \(-f\) 是凸的，则函数是凹的（向下弯曲）。函数从凹性过渡到凸性的点称为拐点，出现在 \(f''(x) = 0\) 处。
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牛顿法利用切线寻找函数的零点（进而也可用于寻找其导数的驻点）。从初始猜测 \(x_0\) 出发，迭代更新：
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其思想是：在 \(x_n\) 处画出切线，找到它与 x 轴的交点，该交点即为 \(x_{n+1}\)。对于性质良好且初始点选取恰当的函数，牛顿法收敛非常快（二次收敛，即每步正确位数大致翻倍）。
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例如，求 \(\sqrt{5}\)（即 \(f(x) = x^2 - 5\) 的零点）：\(f'(x) = 2x\)，因此 \(x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 5}{2x_n}\)。从 \(x_0 = 2\) 开始：\(x_1 = 2.25\)，\(x_2 = 2.2361\ldots\)，已精确到小数点后四位。
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如果初始猜测离根太远、根附近 \(f'(x) = 0\)，或函数在附近有拐点，牛顿法可能会失败。此外，它还需要计算导数，这可能代价高昂。
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对于优化（寻找极小值而非零点），我们将牛顿法应用于 \(f'(x) = 0\)，得到更新公式：
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在多维情形下，这变为 \(\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{x}_n - H^{-1} \nabla f(\mathbf{x}_n)\)，其中 \(H\) 是 Hessian 矩阵。这正是上一节中二阶泰勒近似的实际应用：将函数近似为二次型，跳到该二次型的极小值点，然后重复。
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拉格朗日乘数用于求解约束优化：在约束条件 \(g(x, y) = c\) 下求 \(f(x, y)\) 的最优值。我们不是在 \(\mathbb{R}^n\) 中全域搜索，而是限制在约束条件成立的集合（一条曲线或曲面）上。
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关键见解是几何层面的：在约束最优解处，\(f\) 的梯度必须与 \(g\) 的梯度平行。如果它们不平行，我们可以沿着约束条件朝某个方向移动，从而继续改进 \(f\) 的值，这意味着还没有达到最优。
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我们引入一个新变量 \(\lambda\)（拉格朗日乘数），定义拉格朗日函数：
- 令所有偏导数为零，得到一个方程组，其解即为约束最优解：
- 例如，在 \(x^2 + y^2 = 1\) 的约束下最大化 \(f(x,y) = x^2 y\)。拉格朗日函数为 \(\mathcal{L} = x^2 y - \lambda(x^2 + y^2 - 1)\)。求偏导：
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由第一个方程（假设 \(x \neq 0\)）：\(\lambda = y\)。代入第二个方程：\(x^2 = 2y^2\)。结合约束条件：\(2y^2 + y^2 = 1\)，得 \(y = \frac{1}{\sqrt{3}}\)。最大值为 \(f = \frac{2}{3\sqrt{3}}\)。
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对于不等式约束（\(g(x,y) \leq c\) 而非 \(= c\)），Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件推广了拉格朗日乘数法。约束要么是激活的（有效约束，按等式处理），要么是非激活的（解在内部，约束无关紧要）。
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在实践中，我们很少手工进行优化。以下是主要的算法家族：
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一阶方法（仅使用梯度）：梯度下降、随机梯度下降（SGD）、Adam。这些方法每步计算成本低，但收敛可能较慢，尤其是在病态问题上。
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二阶方法（使用梯度和 Hessian 矩阵）：牛顿法收敛快，但计算和求逆 Hessian 矩阵代价高昂（对于 \(n\) 个参数为 \(O(n^3)\)）。拟牛顿法（如 BFGS 和 L-BFGS）仅利用梯度信息近似 Hessian 矩阵，比一阶方法收敛更快，又无需承担完全的二阶方法计算成本。
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共轭梯度法：适用于大型稀疏系统，仅需矩阵-向量乘积，无需存储完整的 Hessian 矩阵。
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高斯-牛顿法和莱文贝格-马夸尔特法：专门用于最小二乘问题（在回归中常见），通过 Jacobian 矩阵近似 Hessian 矩阵。
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自然梯度下降：利用 Fisher 信息矩阵考虑参数空间的几何结构，对概率模型可能更有效。
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优化器的选择取决于具体问题。对于深度学习，一阶方法（尤其是 Adam）占主导地位，因为参数量巨大（数百万到数十亿），计算 Hessian 矩阵不切实际。对于目标函数光滑的小规模问题，二阶方法可能快得多。
编程练习（在 CoLab 或 notebook 中完成）¶
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实现牛顿法求 \(\sqrt{7}\)（即 \(f(x) = x^2 - 7\) 的零点）。观察其快速收敛。
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使用梯度下降最小化 \(f(x, y) = (x - 3)^2 + (y + 1)^2\)。最小值在 \((3, -1)\) 处。尝试不同的学习率。
import jax import jax.numpy as jnp def f(params): x, y = params return (x - 3)**2 + (y + 1)**2 grad_f = jax.grad(f) params = jnp.array([0.0, 0.0]) lr = 0.1 for i in range(20): g = grad_f(params) params = params - lr * g if i % 5 == 0 or i == 19: print(f"step {i:2d}: ({params[0]:.4f}, {params[1]:.4f}) loss={f(params):.6f}") -
数值求解约束优化问题。在 \(x + y = 10\) 的约束下最大化 \(f(x,y) = xy\)，通过参数化 \(y = 10 - x\) 并求单变量函数的最优值。